EARLY'S WEBSITE

BAB 7

INTEGRASI NUMERIK

Integral suatu fungsi adalah operator matematik yang dipresentasikan dalam bentuk:

(7.1)

dan merupakan integral suatu fungsi f (x) terhadap variabel x dengan batas-batas integrasi adalah dari x = a sampai x = b. Seperti pada Gambar 7.1 dan persamaan (7.1), yang dimaksud dengan integral adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f (x) dan sumbu-x, serta antara batas x = a dan x = b. Dalam
integral analitis, persamaan (7.1) dapat diselesaikan menjadi:

dengan F (x) adalah integral dari f (x) sedemikian sehingga F ' (x) = f (x).

Sebagai contoh:

Gambar 7.1. Integral suatu fungsi

Integral numerik dilakukan apabila:

1) Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis.

2) Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik dalam bentuk angka (tabel).

Metode integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia. Bentuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier). Seperti pada Gambar 7.2a, akan dihitung:

yang merupakan luasan antara kurve f (x) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b, bila nilai f (a) dan f (b) diketahui maka dapat dibentuk fungsi polinomial order satu f₁(x).

Dalam gambar tersebut fungsi f (x) didekati oleh f₁(x), sehingga integralnya dalam luasan antara garis f₁(x) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b. Bidang tersebut merupakan bentuk trapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu:

Dalam integral numerik, pendekatan tersebut dikenal dengan metode trapesium. Dengan pendekatan ini integral suatu fungsi adalah sama dengan luasan bidang yang diarsir (Gambar 7.2), sedang kesalahannya adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir.

Apabila hanya terdapat dua data f (a) dan f (b), maka hanya bisa dibentuk satu trapesium dan cara ini dikenal dengan metode trapesium satu pias. Jika tersedia lebih dari dua data, maka dapat dilakukan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium, dan luas total adalah jumlah dari trapesium-trapesium yang terbentuk. Cara ini dikenal dengan metode trapesium banyak pias. Seperti pada Gambar 7.2b, dengan tiga data dapat dibentuk dua trapesium, dan luas kedua trapesium (bidang yang diarsir) adalah pendekatan dari integral fungsi. Hasil pendekatan ini lebih baik dari pada pendekatan dengan satu pias. Apabila digunakan lebih banyak trapesium hasilnya akan lebih baik.

Fungsi yang diintegralkan dapat pula didekati oleh fungsi polinomial dengan order lebih tinggi, sehingga kurve yang terbentuk tidak lagi linier, seperti dalam metode trapesium, tetapi kurve lengkung. Seperti pada Gambar 7.2c, tiga data yang ada dapat digunakan untuk membentuk polinomial order tiga. Metode Simpson merupakan metode integral numerik yang menggunakan fungsi polinomial dengan order lebih tinggi. Metode Simpson 1/3 menggunakan tiga titik data (polinomial order dua) dan Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data tersebut adalah sama.

Gambar 7.2. Metode integral numerik

7.1 Metode Trapesium

Metode trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik dengan persamaan polinomial order satu. Dalam metode ini kurve lengkung dari fungsi f (x) digantikan oleh garis lurus. Seperti pada Gambar 7.2, luasan bidang di bawah fungsi f (x) antara nilai x = a dan nilai x = b didekati oleh luas satu trapesium yang terbentuk oleh garis lurus yang menghubungkan f (a) dan f (b) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b. Pendekatan dilakukan dengan satu pias (trapesium). Menurut rumus geometri, luas trapesium adalah lebar kali tinggi rerata, yang berbentuk:

(7.2)

Pada Gambar 7.3, penggunaan garis lurus untuk mendekati garis lengkung menyebabkan terjadinya kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir.

Besarnya kesalahan yang terjadi dapat diperkirakan dari persamaan berikut:

(7.3)

dengan x adalah titik yang terletak di dalam interval a dan b.

Persamaan (7.3) menunjukkan bahwa apabila fungsi yang diintegralkan adalah linier, maka metode trapesium akan memberikan nilai eksak karena turunan kedua dari fungsi linier adalah nol. Sebaliknya untuk fungsi dengan derajat dua atau lebih, penggunaan metode trapesium akan memberikan kesalahan.

Gambar 7.3. Metode trapesium

Contoh soal:

Gunakan metode trapesium satu pias untuk menghitung,

Penyelesaian:

Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analitis:

Hitungan integral numerik dilakukan dengan menggunakan persamaan (7.2):

Untuk mengetahui tingkat ketelitian dari integral numerik, hasil hitungan numerik dibandingkan dengan hitungan analitis.

Kesalahan relatif terhadap nilai eksak adalah:

Terlihat bahwa penggunaan metode trapesium satu pias memberikan kesalahan sangat besar (lebih dari 100 %).

7.2 Metode Trapesium Dengan Banyak Bias

Dari contoh soal diatas terlihat bahwa pendekatan dengan menggunakan satu pias (trapesium) menimbulkan kesalahan sangat besar. Untuk mengurangi kesalahan yang terjadi maka kurve lengkung didekati oleh sejumlah garis lurus, sehingga terbentuk banyak pias (Gambar 7.4). Luas bidang adalah jumlah dari luas beberapa pias tersebut. Semakin kecil pias yang digunakan, hasil yang didapat menjadi semakin teliti.

Dalam Gambar 7.4, panjang tiap pias adalah sama yaitu Dx. Apabila terdapat n pias, berarti panjang masing-masing pias adalah:

Batas-batas pias diberi notasi:

x_o = a, x₁, x₂, …, x_n = b

Integral total dapat ditulis dalam bentuk:

(7.4)

Gambar 7.4. Metode trapesium dengan banyak pias

Substitusi persamaan (7.2) ke dalam persamaan (7.4) akan didapat:

atau

(7.5)

atau

(7.6)

Besarnya kesalahan yang terjadi pada penggunaan banyak pias adalah:

(7.7)

yang merupakan kesalahan order dua. Apabila kesalahan tersebut diperhitungkan dalam hitungan integral, maka akan didapat hasil yang lebih teliti.

Bentuk persamaan trapesium dengan memperhitungkan koreksi adalah:

(7.8)

Untuk kebanyakan fungsi, bentuk f ''(x ) dapat didekati oleh:

(7.9)

Substitusi persamaan (7.9) ke dalam persamaan (7.8) didapat:

(7.10)

Bentuk persamaan (7.10) disebut dengan persamaan trapesium dengan koreksi ujung, karena memperhitungkan koreksi pada ujung interval a dan b.

Metode trapesium dapat digunakan untuk integral suatu fungsi yang diberikan dalam bentuk numerik pada interval diskret. Koreksi pada ujung-ujungnya dapat didekati dengan mengganti diferensial f '(a) dan f '(b) dengan diferensial beda hingga.

Contoh soal:

Gunakan metode trapesium empat pias dengan lebar pias adalah Dx = 1 untuk menghitung:

Penyelesaian:

Metode trapesium dengan 4 pias, sehingga panjang pias adalah:

Luas bidang dihitung dengan persamaan (7.6):

Kesalahan relatif terhadap nilai eksak:

Apabila digunakan metode trapesium dengan koreksi ujung, maka integral dihitung dengan persamaan (7.10). Dalam persamaan tersebut koreksi ujung mengandung turunan pertama dari fungsi.

Apabila f (x) = e^x, turunan pertamanya adalah f ' = e^x; sehingga:

Kesalahan relatif terhadap nilai eksak:

Contoh soal:

Diberikan tabel data berikut:

x	0 1 2 3 4
f (x)	1 3 9 19 33

Hitung luasan di bawah fungsi f (x) dan di antara x = 0 dan x = 4, dengan menggunakan metode trapesium dan trapesium dengan koreksi ujung.

Penyelesaian:

Integral numerik dihitung dengan persamaan (7.6):

Apabila digunakan metode trapesium dengan koreksi ujung, integral dihitung dengan persamaan (7.10):

Turunan pertama pada ujung-ujung dihitung dengan diferensial beda hingga:

7.3 Metode Simpson

Di samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara lain untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah menggunakan polinomial order lebih tinggi untuk menghubungkan titik-titik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di antara f (a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar 7.5a). Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b), maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga (Gambar 7.5b). Rumus yang dihasilkan oleh integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan) Simpson.

Gambar 7.5. Aturan Simpson

1) Aturan Simpson 1/3

Di dalam aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yang melalui titik f (x_{i – 1}), f (x_i) dan f (x_{i + 1}) untuk mendekati fungsi. Rumus Simpson dapat diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini.

(7.11)

Apabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x, akan menjadi:

(7.12)

Dengan memperhatikan Gambar 7.6. dan persamaan (7.12) maka persamaan deret Taylor adalah:

(7.13)

(7.14)

Pada Gambar 7.6, nilai I (x_{i + 1}) adalah luasan dibawah fungsi f (x) antara batas a dan x_{i + 1}. Sedangkan nilai I (x_i_-₁) adalah luasan antara batas a dan I (x_i_-₁). Dengan demikian luasan di bawah fungsi antara batas x_i_-₁ dan x_{i + 1} yaitu (A_i), adalah luasan I (x_{i + 1}) dikurangi I (x_i_-₁) atau persamaan (7.13) dikurangi persamaan (7.14).

A_i = I (x_{i + 1}) – I (x_i_-₁)

atau

(7.15)

Gambar 7.6 Penurunan metode Simpson

Nilai f ''(x_i) ditulis dalam bentuk diferensial terpusat:

Kemudian bentuk diatas disubstitusikan ke dalam persamaan (7.15). Untuk memudahkan penulisan, selanjutnya notasi f (x_i) ditulis dalam bentuk f_i, sehingga persamaan (7.15) menjadi:

atau

(7.16)

Persamaan (7.16) dikenal dengan metode Simpson 1/3. Diberi tambahan nama 1/3 karena Dx dibagi dengan 3. Pada pemakaian satu pias,

, sehingga persamaan (7.16) dapat ditulis dalam bentuk:

(7.17)

dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b.

Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias adalah:

Oleh karena

, maka:

Contoh soal:

Hitung

dengan aturan Simpson 1/3.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan (7.17) maka luas bidang adalah:

Kesalahan terhadap nilai eksak:

Terlihat bahwa pada pemakaian satu pias, metode Simpson 1/3 memberikan hasil lebih baik dari rumus trapesium.

2) Aturan Simpson 1/3 dengan banyak pias

Seperti dalam metode trapesium, metode Simpson dapat diperbaiki dengan membagi luasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama (Gambar 7.6):

dengan n adalah jumlah pias.

Gambar 7.7. Metode Simpson dengan banyak pias

Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias, seperti pada Gambar 7.7.

(7.18)

Dalam metode Simpson ini jumlah interval adalah genap. Apabila persamaan (7.16) disubstitusikan ke dalam persamaan (7.18) akan diperoleh:

atau

(7.19)

Seperti pada Gambar (7.7), dalam penggunaan metode Simpson dengan banyak pias ini jumlah interval adalah genap. Perkiraan kesalahan yang terjadi pada aturan Simpson untuk banyak pias adalah:

dengan

adalah rerata dari turunan keempat untuk setiap interval.

Contoh soal:

Hitung

dengan metode Simpson dengan Dx = 1.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan (7.19) maka luas bidang adalah:

Kesalahan terhadap nilai eksak:

3) Metode Simpson 3/8

Metode Simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial order tiga yang melalui empat titik.

Dengan cara yang sama pada penurunan aturan Simpson 1/3, akhirnya diperoleh:

(7.20)

dengan:

Persamaan (7.20) disebut dengan metode Simpson 3/8 karena Dx dikalikan dengan 3/8. Metode Simpson 3/8 dapat juga ditulis dalam bentuk:

(7.21)

Metode Simpson 3/8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar:

(7.22a)

Mengingat

, maka:

(7.22b)

Metode Simpson 1/3 biasanya lebih disukai karena mencapai ketelitian order tiga dan hanya memerlukan tiga titik, dibandingkan metode Simpson 3/8 yang membutuhkan empat titik. Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3 hanya berlaku untuk jumlah pias genap. Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil, maka dapat digunakan metode trapesium. Tetapi metode ini tidak begitu baik karena adanya kesalahan yang cukup besar. Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias digunakan metode Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8.

Contoh soal:

Dengan aturan Simpson 3/8 hitung

. Hitung pula integral tersebut dengan menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan 5 pias dengan Dx = 0,8.

Penyelesaian:

a) Metode Simpson 3/8 dengan satu pias

Integral dihitung dengan menggunakan persamaan (7.21):

Besar kesalahan adalah:

b) Apabila digunakan 5 pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah:

f (0) = e⁰ = 1 f (2,4) = e^2,4 = 11,02318.

f (0,8) = e^0,8 = 2,22554 f (3,2) = e^3,2 = 24,53253.

f (1,6) = e^1,6 = 4,9530 f (4) = e⁴ = 54,59815.

Integral untuk 2 pias pertama dihitung dengan metode Simpson 1/3 (persamaan 7.17):

Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson 3/8:

Integral total adalah jumlah dari kedua hasil diatas:

Kesalahan terhadap nilai eksak:

7.4 Integral Dengan Panjang Pias Tidak Sama

Beberapa rumus diatas didasarkan pada titik data yang berjarak sama. Di dalam prakteknya sering dijumpai suatu keadaan dimana diperlukan pembagian pias dengan panjang tidak sama, seperti terlihat pada Gambar 7.8. Pada kurve yang melengkung dengan tajam diperlukan jumlah pias yang lebih banyak sehingga panjang pias lebih kecil dibanding dengan kurve yang relatif datar.

Gambar 7.8. Integral dengan panjang pias tidak sama

Di antara beberapa aturan yang telah dibicarakan, yang dapat digunakan untuk keadaan ini adalah metode trapesium dengan banyak pias, dan bentuk persamaannya adalah:

(7.23)

dengan Dx_i = x_i – x_{i –
1}.

7.5 Metode Kuadratur

Di dalam metode trapesium dan Simpson, fungsi yang diintegralkan secara numerik terdiri dari dua bentuk yaitu tabel data atau fungsi. Pada metode kuadratur, yang akan dibahas adalah metode Gauss Kuadratur, data yang diberikan berupa fungsi.

Pada aturan trapesium dan Simpson, integral didasarkan pada nilai-nilai di ujung-ujung pias. Seperti pada Gambar 7.9a, metode trapesium didasarkan pada luasan di bawah garis lurus yang menghubungkan nilai-nilai dari fungsi pada ujung-ujung interval integrasi.

Rumus yang digunakan untuk menghitung luasan adalah:

(7.24)

dengan a dan b adalah batas integrasi dan (b – a) adalah lebar dari interval integrasi. Karena metode trapesium harus melalui titik-titik ujung, maka seperti terlihat pada Gambar 7.9a. rumus trapesium memberikan kesalahan cukup besar.

Gambar 7.9. Bentuk grafik metode trapesium dan Gauss kuadratur

Di dalam metode Gauss kuadratur dihitung luasan di bawah garis lurus yang menghubungkan dua titik sembarang pada kurve. Dengan menetapkan posisi dari kedua titik tersebut secara bebas, maka akan bisa ditentukan garis lurus yang dapat menyeimbangkan antara kesalahan positif dan negatif, seperti pada Gambar 7.9b.

Dalam metode trapesium, persamaan integral seperti diberikan oleh persamaan (7.24) dapat ditulis dalam bentuk:

(7.25)

dengan c adalah konstanta. Dari persamaan tersebut akan dicari koefisien c₁ dan c₂.

Seperti halnya dengan metode trapesium, dalam metode Gauss Kuadratur juga akan dicari koefisien-koefisien dari persamaan yang berbentuk:

(7.26)

Dalam hal ini variabel x₁ dan x₂ adalah tidak tetap, dan akan dicari seperti pada Gambar 7.10. Persamaan (7.26) mengandung 4 bilangan tak diketahui, yaitu c₁, c₂, x₁, dan x₂, sehingga diperlukan 4 persamaan untuk menyelesaikannya.

Untuk itu persamaan (7.26) dianggap harus memenuhi integral dari empat fungsi, yaitu dari nilai f ( x ) = 1, f ( x ) = x, f ( x ) = x² dan f ( x ) = x³, sehingga untuk:

(7.27)

(7.28)

(7.29)

(7.30)

Sehingga didapat sistem persamaan:

;

Penyelesaian dari sistem persamaan diatas adalah:

c₁ = c₂ = 1; x₁ =

= –0,577350269; x₂ =

= 0,577350269.

Substitusi dari hasil tersebut ke dalam persamaan (7.26) menghasilkan:

(7.31)

Gambar 7.10. Integrasi Gauss kuadratur

Batas-batas integral dalam persamaan (7.27) hingga persamaan (7.30) adalah –1 sampai 1, sehingga lebih memudahkan hitungan dan membuat rumus yang didapat bisa digunakan secara umum. Dengan melakukan transformasi batas-batas integrasi yang lain dapat diubah ke dalam bentuk tersebut. Untuk itu dianggap terdapat hubungan antara variabel baru x_d dan variabel asli x secara linier dalam bentuk:

x = a₀ + a₁x_d (7.32)

Bila batas bawah adalah x = a, untuk variabel baru batas tersebut adalah x_d = –1. Kedua nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (7.32), sehingga diperoleh:

a = a₀ + a₁(–1) (7.33)

dan batas baru x_d = 1, memberikan:

b = a₀ + a₁(1) (7.34)

Persamaan (7.33) dan (7.34) dapat diselesaikan secara simultan dan hasilnya adalah:

(7.35)

dan

(7.36)

Substitusikan persamaan (7.35) dan (7.36) ke persamaan (7.32) menghasilkan:

(7.37)

Diferensial dari persamaan tersebut menghasilkan:

(7.38)

Persamaan (7.37) dan persamaan (7.38) dapat disubstitusikan ke dalam persamaan yang diintegralkan.

Bentuk rumus Gauss Kuadratur untuk dua titik dapat dikembangkan untuk lebih banyak titik, yang secara umum mempunyai bentuk:

I = c₁ f (x₁) + c₂ f (x₂) + … + c_n f (x_n) (7.39)

Nilai c dan x untuk rumus sampai dengan enam titik diberikan dalam Tabel 7.1.

Tabel 7.1. Nilai c dan x pada rumus Gauss kuadratur

Jumlah titik	Koefisien c	Variabel x
2	c₁ = 1,000000000 c₂ = 1,000000000	x₁ = - 0,577350269 x₂ = 0,577350269
3	c₁ = 0,555555556 c₂ = 0,888888889 c₃ = 0,555555556	x₁ = - 0,774596669 x₂ = 0,000000000 x₃ = 0,774596669
4	c₁ = 0,347854845 c₂ = 0,652145155 c₃ = 0,652145155 c₄ = 0,347854845	x₁ = - 0,861136312 x₂ = - 0,339981044 x₃ = 0,339981044 x₄ = 0,861136312
5	c₁ = 0,236926885 c₂ = 0,478628670 c₃ = 0,568888889 c₄ = 0,478628670 c₅ = 0,236926885	x₁ = - 0,906179846 x₂ = - 0,538469310 x₃ = 0,000000000 x₄ = 0,538469310 x₅ = 0,906179846
6	c₁ = 0,171324492 c₂ = 0,360761573 c₃ = 0,467913935 c₄ = 0,467913935 c₅ = 0,360761573 c₆ = 0,171324492	x1 = - 0,932469514 x₂ = - 0,661209386 x₃ = - 0,238619186 x₄ = 0,238619186 x₅ = 0,661209386 x₆ = 0,932469514

Contoh soal:

Hitung integral

dengan menggunakan metode Gauss kuadratur.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan (7.37) untuk a = 0 dan b = 4 didapat:

Turunan dari persamaan tersebut adalah:

dx = 2 dx_d

Kedua bentuk diatas disubstitusikan ke dalam persamaan asli, sehingga didapat:

Ruas kanan dari persamaan diatas dapat digunakan untuk menghitung luasan dengan metode Gauss Kuadratur, dengan memasukkan nilai x_d = x₁ = –0,577350269 dan nilai x_d = x₂ = 0,577350269.

Untuk x₁ = –0,577350269 ®